Olympiades mathématiques
Ministère de l’education tunisienne
Comité culturelle de Sousse : Riadh Dhif Hammouda Cherif
Supervisé par : Mr Youssef TLILI (Inspecteur de Mathématiques)
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Niveau : 2ème
Sc +T.I
Durée : 2 heures
Etablissement : lycée
Mahmoud El Messaâdi
Directeur : Mr Chokri
Belgacem
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Exercice N°1 :
Soit l’équation du seconde degré : x2-(1+a)x+a2
= 0 ; Soient x1 et x2 les deux racines
1/ On demande de former une équation du second degré en t qui admette pour racines
t1=x1/x2 et t2=x2/t1
2/ A quelles conditions doit satisfaire a pour que cette équation en t ait des racines
3.
Pour
quelles valeurs de a l’une des racines de
l’équation en t sera –t-elle égale à 1/4 ?
4.
Quelles
sont les valeurs correspondantes de x ?
Exercice N°2 :
A/
1. Montrer que si trois entiers relatifs a , b et c sont
tels que la somme: a3 + b3 + c3 est divisible par 3
alors le somme ( a + b + c ) est aussi divisible par 3
alors le somme ( a + b + c ) est aussi divisible par 3
2.
Démontrez que si ( a3 + b3
+ c3 ) est divisible par 9 alors l'un au moins des trois nombres a ,
b , c est divisible par 3.
3.
Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que la somme ( a3
+ b3 + c3 ) soit divisible par 9.
B / 1. Montrez que si
a , b , c et d sont réels alors (a2 + b2)(c2 +
d2) = (ac + bd)2 + (ad - bc)2.
2. On pose S comme étant l'ensemble des entiers naturels non nuls n tels qu'ils existent a et b entiers naturels non nécessairement nuls tels que n=a2 + b2.
a) Indiquez quels sont les entiers qui appartiennent à S dans la liste suivante:
2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 17 ; 19 ; 23 ; 37 ; 41 ; 43.
b) Montrez que si n et m appartiennent à S alors n.m appartient aussi à S.
2. On pose S comme étant l'ensemble des entiers naturels non nuls n tels qu'ils existent a et b entiers naturels non nécessairement nuls tels que n=a2 + b2.
a) Indiquez quels sont les entiers qui appartiennent à S dans la liste suivante:
2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 17 ; 19 ; 23 ; 37 ; 41 ; 43.
b) Montrez que si n et m appartiennent à S alors n.m appartient aussi à S.
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